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Universal differential equationが数理モデルにおいて意味すること

計算機科学でのuniversalityは理論上の興味から出てきた重要な概念です。例えばuniversal Turing machineからTuring completenessが定義できます。そして応用面でも"stored-program computer"というアイデアにつながり、現在普及しているコンピュータの原型になっています。

(ここでいうuniversalityは、力学系のuniversalityや圏論のuniversal propertyとは異なります。)

Universal differential equationとは、大雑把にいうと、実数上の任意の区間上で定義された任意の連続関数に対して任意の精度で近似する解を持つような微分方程式のことです。なのでどんな実数上の連続関数であっても、好きなだけ近似できる解が見つけられることになります。どんな実数上の連続関数にもだいたいcurve fittingできてしまうので、このような微分方程式で物理現象等の数理モデルを作ることはまず何の意味もないでしょう。

Universal differential equationとなる4次の多項式DAEがいくつか知られているので、DAEでモデルを作る際にこのような落とし穴にはまる危険があることが分かります。しかし、最近さらにuniversal differential equationとなる多項式ODEがあるという論文がarXivに出てきており、ODEモデルにもこの危険があるかもしれません。

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