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単純なEfron's Diceを探す (2017-01-15)

Efron's Diceは4つの6面体サイコロの組で、次のような性質を満たすものです:

• 各サイコロの各面には(通常のような目の代わりに)任意の数字のラベルが付けられている。
• 仮に4つのサイコロをA、B、C、Dと呼ぶ。AとBをそれぞれ1回振り、Aの出たラベルがBの出たラベルより大きいときに「AがBに勝つ」ということにすると、"AがBに勝つ確率"、"BがCに勝つ確率"、"CがDに勝つ確率"、"DがAに勝つ確率"が全て等しくなる。
• ただし、この確率が1/2になる場合は除く。

上のリンクやNontransitive diceにある具体例から分かるように、各サイコロのラベルは2つ以上の面で重複していても良いです。確率を計算する際、出たラベルが引き分けの場合には勝ちが決まるまで繰り返し2つのサイコロを振るものとして計算します。

今回はEfron's Diceの中でも単純なものを探してみました。ここでいう単純なものとは、ラベルに許される数字の個数が小さいもののことです。ラベルに使える数字の個数が小さいほど、可能なサイコロのパターンも限られます。

プログラムで可能なパターンを網羅してEfron's Diceを並べ上げることで、以下のことが分かります。

• ラベルに使える数字の個数が3以下のEfron's Diceは存在しない。
• 数字の個数が4の場合、次の2種類のEfron's Diceが存在する:

  A: 0 1 1 1 3 3
  B: 0 0 0 3 3 3
  C: 0 0 2 2 2 3
  D: 1 1 1 2 2 2
  odds: 15:12, 15:12, 15:12, 15:12

  および

  A: 0 1 1 1 3 3
  B: 0 0 1 2 3 3
  C: 0 0 2 2 2 3
  D: 0 1 1 2 2 3
  odds: 14:13, 14:13, 14:13, 14:13

• 数字の個数が6になって初めて、引き分けが生じないEfron's Diceが1種類見つかる:

  A: 1 1 1 1 5 5
  B: 0 0 4 4 4 4
  C: 1 1 3 3 3 5
  D: 0 2 2 2 4 4
  odds: 20:16, 20:16, 20:16, 20:16 (no ties)