見知らぬ人が1つ6面体サイコロを持って来て、次のように持ち掛けてきたとします: 「これをお互いに1回ずつ振って、同じ目が出たらあなたに$6差し上げます。この賭けに乗るならまず$1払ってください。」さて、この賭けに乗るべきでしょうか？
もしサイコロが公正なら、相手が出した目が何であれあなたが同じ目を出す確率は1/6であることはすぐ分かるので、得られる額の期待値は$6 * (1/6) = $1となり、乗っても損も得もなさそうです。
問題はこのサイコロが公正でない場合ですが、実はその方があなたにとって有利です。(ただし、サイコロの各目の出る確率は、相手が振るときとあなたが振るときとで変わらないものとします。)
このことは次の定理から分かります: 任意の正の整数\(n\)について、\(n\)個の実数\(p_1, p_2, ..., p_n\)が\(\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\)を満たすとき\[\sum_{i=1}^n p_i^2 \geq \frac{1}{n}.\]
証明は以下のとおりです:\begin{align}\sum_{i=1}^n (p_i - \frac{1}{n})^2 &= \sum_{i=1}^n (p_i^2 - \frac{2}{n} p_i + \frac{1}{n^2}) \\ &= \sum_{i=1}^n p_i^2 - \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n p_i + \frac{1}{n} \\ &= \sum_{i=1}^n p_i^2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n} \\ &= \sum_{i=1}^n p_i^2 - \frac{1}{n}\end{align}上の等式の最初の式は常に0以上であるため、示したいことが言えます。
問題の賭け(\(n = 6\)の場合)に戻ると、公正でないサイコロでも相手の出す目とあなたの出す目が同じである確率は常に\(1/6\)以上あり、得られる額の期待値も常に$1以上になるということです。