近年日本の人口が減少しており、喫緊の課題として少子化対策が求められていると一般に考えられています。しかし、人口増減の傾向を表す(粗)出生率を主な基準にして状況を判断することはあまり得策ではないかもしれません。その理由の1つとして、出生率は集団ごとに(例えば国ごとに)望ましい範囲が異なることが挙げられます。この記事では、出生率だけでなく人口の二階微分に出てくる係数を指標として注視することを提案します。
ここでは要点を明らかにするため話を単純にし、外部から人の流入・流出のない集団のモデルを考えます。まず説明に用いる記号を定義します。\(p(t) (> 0)\)をある時点\(t\)におけるその集団の人口とします。\(b(t)\)をある時点\(t\)の瞬間にその集団で出生が起こる時間平均を表すものとし、\(d(t)\)をある時点\(t\)の瞬間にその集団で死亡が起こる時間平均を表すものとします。\[p'(t) = b(t) - d(t)\]
これは\[p(t) = \int_{-\infty}^{t} b(s) ds - \int_{-\infty}^{t} d(s) ds = \int_{-\infty}^{t} \left(b(s) - d(s)\right) ds\]
と考えていることと同じです。つまり\(b(\cdot)\)は各時点でどれだけ生まれるかの速度を表しています。一方、出生率\(r_b(t)\)はその時点での人口に対する割合なので次の関係があります: \[r_b(t) = \frac{b(t)}{p(t)}\]同様に、死亡率は\(r_d(t) = \frac{d(t)}{p(t)}\)と定義できます。そして最初の等式は\[p'(t) = (r_b(t) - r_d(t)) p(t)\]と書けます。このため例えば、\(r_b(t) - r_d(t)\)が時刻\(t\)に依存しない定数なら、\(p(t)\)は指数関数になります。あるいは、\(r_b(t) - r_d(t)\)が\(t\)について線形な関数なら、\(p(t)\)はロジスティック関数になります[1]。そのような仮定をおかない場合でも、上式の両辺を微分した後代入することで\begin{align}p''(t) &= (r'_b(t) - r'_d(t))p(t) + (r_b(t) - r_d(t)) p'(t)\\ &= (r'_b(t) - r'_d(t))p(t) + (r_b(t) - r_d(t))^2 p(t)\\ &= (r'_b(t) - r'_d(t) + O(r_\cdot(t)r_\cdot(t))) p(t)\end{align}が得られます。\(p(t) > 0\)であることから、\(p''(t)\)は条件\(r'_b(t) > r'_d(t)\)が成り立つなら正となります。つまり人口の加速度が正になる十分条件です。\(p''(t)\)がある正定数で下から抑えられるなら、いずれ\(p'(t)\)も正に転じることが分かります。政策決定にはこのような長期的な観点が特に重要になるはずです。
なお、生態学の数理モデルで集団の個体数の二階微分に注目するべきという考え方は既に[2]で見られます。
[1] Donaldson, N. Math 3D (44248) - Winter 2021 Lecture Note: Population models. https://www.math.uci.edu/~ndonalds/math3d/popmodels.pdf
[2] Clark, J.P., 1971. The Second Derivative and Population Modeling. Ecology 52, 606–613. doi:10.2307/1934148