大人のパズルという書籍で、次のような算術のトリビアが紹介されています。
ソロバンで1+2+3+……と加えていくと、いくつまでやっても一の桁の一番下の玉は動かない。(72ページ)
この事実は以下のように容易に証明することができます。
\(S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k\)とする。ソロバンで桁の1番下の珠が(上に)動くのは、その桁の数字が4または9であるとき、そのときに限る。つまりここでは、どの自然数\(n\)についても\(S_n\)の1の位の数字が4でも9でもない、ということを示す。\(S_n = n(n+1)/2\)であることに注意すると、\(n(n+1)\)の1の位の数字が8でないことを示せばよい。\(d_1(i)\)を自然数\(i\)の1の位の数とすると、各自然数\(i, j\)について\(d_1(i j) = d_1(d_1(i) d_1(j))\)。特に\(d_1(n(n+1)) = d_1(d_1(n) d_1(n+1))\)であるから、次の表のように隣合うひと桁同士の積を調べれば\(n\)を網羅できる。
\[ \begin{array}{|r|r|r|} \hline d_1(n) & d_1(n+1) & d_1(n) d_1(n+1)\\ \hline 0 & 1 & \underline{0}\\ \hline 1 & 2 & \underline{2}\\ \hline 2 & 3 & \underline{6}\\ \hline 3 & 4 & 1\underline{2}\\ \hline 4 & 5 & 2\underline{0}\\ \hline 5 & 6 & 3\underline{0}\\ \hline 6 & 7 & 4\underline{2}\\ \hline 7 & 8 & 5\underline{6}\\ \hline 8 & 9 & 7\underline{2}\\ \hline 9 & 0 & \underline{0}\\ \hline \end{array} \]
1の位(下線部)の数字に8がないので、題意が示された。